The Stochastic Discount Factor: Extending the Volatility Bound and a New Approach to Portfolio Selection with Higher-Order Moments

The authors extend the well-known Hansen and Jagannathan (HJ) volatility bound. HJ characterize the lower bound on the volatility of any admissible stochastic discount factor (SDF) that prices correctly a set of primitive asset returns. The authors characterize this lower bound for any admissible SDF that prices correctly both primitive asset returns and quadratic payoffs of the same primitive assets. In particular, they aim at pricing derivatives whose payoffs are defined as non-linear functions of the underlying asset payoffs. The authors construct a new volatility surface frontier in a three-dimensional space by considering not only the expected asset payoffs and variances, but also asset skewness. The intuition behind the authors’ portfolio selection is motivated by the duality between the HJ mean-variance frontier and the Markowitz meanvariance portfolio frontier. The authors’ approach consists of minimizing the portfolio risk subject not only to portfolio cost and expected return, as usual, but also subject to an additional constraint that depends on the portfolio skewness. In this sense, the authors shed light on portfolio selection when asset returns exhibit skewness. JEL classification: G11, G12, C61 Bank classification: Financial markets; Market structure and pricing Résumé L’objet de l’étude est l’extension du concept bien connu de borne de variance proposé par Hansen et Jagannathan. Alors que ces derniers caractérisent la variance minimale que doit avoir un facteur d’actualisation stochastique admissible pour que soit évalué correctement un ensemble d’actifs primitifs, Chabi-Yo, Garcia et Renault considèrent l’effet qu’a sur cette borne de variance l’ajout de contraintes imposées par l’évaluation correcte des fonctions quadratiques des gains de ces actifs primitifs. Ils abordent ainsi le problème de l’évaluation d’actifs dérivés dont les gains sont par définition des fonctions non linéaires des gains des actifs sous-jacents. Ils trouvent utile de décrire la frontière de variance ainsi obtenue dans un espace à trois dimensions mettant en jeu non seulement les rendements espérés et leur variance, mais aussi leur coefficient d’asymétrie. De même que la frontière de variance de Hansen et Jagannathan présente une relation de dualité avec la frontière efficiente moyenne-variance du choix optimal de portefeuille au sens de Markowitz, la frontière que proposent Chabi-Yo, Garcia et Renault peut être interprétée en termes du choix d’un portefeuille dont le risque est minimisé étant donnés le coût, le rendement espéré et (ce qui est nouveau) le coefficient d’asymétrie du portefeuille. En ce sens, les auteurs donnent un nouvel éclairage au problème de choix de portefeuille en présence de rendements asymétriques. Classification JEL : G11, G12, C61 Classification de la Banque : Marchés financiers; Structure de marché et fixation des prix